題目：等腰梯形ABCD中，AD平行BC，且BC

解法1：托勒密定理

①輔助線：作等腰梯形ABCD的對稱軸l；作P關于直線l的對稱點P"；連接PP"、AP"、BP"、CP"、DP’;

②則AP"=DP=4，BP"=CP=3，CP"=BP=2，DP"=AP=1；

【資料圖】

③應用托勒密定理：定理證明 | 托勒密定理

在四邊形APP"D中：PP"×AD+AP×DP"=AP"×DP

所以PP"×AD+1×1=4×4

所以PP"×AD=15 (1)

在四邊形BPP"C中：PP"×BC+BP×CP"=BP"×CP

所以PP"×BC+2×2=3×3

所以PP"×BC=5 (2)

由(2)÷(1)得：BC:AD=1:3

解法2：斯圖瓦特定理

①輔助線：延長AB、DC相交于點E，連接PE；

②應用斯圖爾特定理：

在△APE中：

a×b×（a+b）+4×（a+b）=1×a+s2×b (1)

在△DPE中：

a×b×（a+b）+9×（a+b）=16×a+s2×b (2)

由(2)-(1)得：b=2a，BC:AD=BE:AE=1:3

補充：斯圖爾特定理證明

解法3：建系暴力解題

①輔助線：構造平面直角坐標系如圖所示，設點的坐標如圖所示；

②用兩點間的距離公式：

由PA2-PD2得：4ac=-15

由PB2-PC2得：4bc=-5

所以a:b=1:3，BC:AD=1:3

關鍵詞：