hello大家好，我是城鄉(xiāng)經(jīng)濟(jì)網(wǎng)小晟來為大家解答以上問題，數(shù)學(xué)立體幾何三棱錐外接球問題，一招解決高考立體幾何外接球問題很多人還不知道，現(xiàn)在讓我們一起來看看吧！

高考立體幾何的小題里，外接球的問題被很多學(xué)生認(rèn)為是一個(gè)難點(diǎn)。今天這節(jié)課我們就來把這類問題一次性研究清楚。你會(huì)發(fā)現(xiàn)，原來“難點(diǎn)”并不難，很可能只是自己在關(guān)鍵點(diǎn)的把握上始終似是而非，才一直為難下去。

(資料圖片)

題目說“一招解決”，不夸張，真的就是一招，這招就是高中課本中的那個(gè)定理：

球的任一截面圓心和球心的連線垂直于該截面。反之，球心在球的任一截面上的射影是該截面的圓心。

這個(gè)有點(diǎn)類似于初中學(xué)的平面幾何“垂徑定理”的定理，可以衍生出很多的結(jié)論。這些結(jié)論不需要記住，而是要理解。

對(duì)于小圓（球的不過球心的截面）和它的任意一個(gè)內(nèi)接三角形，內(nèi)接三角形的外心即小圓的圓心。

所以我們知道，球心必然在過內(nèi)接三角形外心、垂直于內(nèi)接三角形所在平面的直線上。也就知道，對(duì)于一個(gè)球內(nèi)接幾何體，它的各個(gè)面過外心的垂線必然交于一點(diǎn)，這點(diǎn)就是球心。

例1. 已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC 是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC = 2，則此棱錐的體積為 ___ ．

分析：?SC為球O的直徑，O是SC的中點(diǎn)，由點(diǎn)O在過△ABC外心且垂直于底面ABC的直線上，知點(diǎn)S到底面ABC的距離等于點(diǎn)O到底面ABC的距離的2倍，且后者很容易就求到。

具體解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，有如下方法：

一是球心在一個(gè)面過外心（這里不限于指三角形外心了，而是拓展為到平面內(nèi)各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)）的垂線上。作出這條垂線，在其上設(shè)出球心，根據(jù)球心到各頂點(diǎn)距離相等，列方程求解。例如我們常見的棱錐外接球問題。

例2. 高為2^(1/2)/4的四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)S、A、B、C、 D均在半徑為1的同一個(gè)球面上，則底面ABCD的中心與頂點(diǎn)S之間的距離為 ___ ．

如果是直棱柱，其實(shí)問題一樣，只不過是變成了球心在上下兩平行底面的過外心的共同垂線上。（圓柱的情況下，外心就成底面圓心了。）

例3. 一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為9/8，底面周長(zhǎng)為３，則這個(gè)球的體積為 ___ ．

特別地，當(dāng)直棱柱的上下底面是正方形，問題就變成了我們熟悉的長(zhǎng)方體外接球問題。此時(shí)體對(duì)角線為外接球直徑，d=2R=(a b c)^(1/2)。

當(dāng)一個(gè)三棱錐的某頂點(diǎn)處三條棱兩兩垂直（“墻角”型）時(shí)，也可以“補(bǔ)形”成長(zhǎng)方體來處理。甚至更廣泛的條件下，也可以構(gòu)造長(zhǎng)方體來處理。

例4. 已知點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)球面上，AB垂直于平面BCD，BC垂直于DC，若AB=6，AC=2·(13)^(1/2)，AD=8，則B、C兩點(diǎn)間的球面距離是 ___ ．

分析：可以構(gòu)造一個(gè)以A、B、C、D為頂點(diǎn)，AD為體對(duì)角線的長(zhǎng)方體。

二是球心直接由兩個(gè)面過外心的垂線的交點(diǎn)得出。

還是上面給出的例4.

分析：球心是過直角三角形ABC外心（即AC中點(diǎn)）和直角三角形BCD外心（即BD中點(diǎn)）的垂線的交點(diǎn)。

還是第一節(jié)課說的那個(gè)道理：“萬變不離其宗”。接住高考數(shù)學(xué)里的外接球問題，看起來很多招，“直接法”、“構(gòu)造法”……其實(shí)本是一招。

本文就為大家講解到這里，希望對(duì)大家有所幫助。

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